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7 倒置的树——树与二叉树

7.1 树的基本概念

数据结构中所说的“树”，其实就好比把现实生活中的大树倒过来看——树根朝上，枝叶向下伸展，在计算机中，我爱游戏电竞官网们在磁盘根目录下创建文件夹，在文件夹下又能建立多个子文件夹，层层嵌套，这种结构就是典型的“树”，树是一种非线性结构,元素之间具有明显的层次关系。

和我们平时称呼一棵树类似，数据结构中的树也有“根结点”“分支结点（非终端结点）”和“叶子结点（终端结点）”，要注意的是：根在上,叶子在下。

除了根结点和叶子结点外，每个结点都只有一个前驱（也就是前件），但可以有多个后继（也就是后件），这就像一个文件夹只有一个上级目录，却可以包含多个子文件夹，树的根结点是唯一没有前驱的结点,而叶子结点都没有后继。

我们可以把树想象成一本“家谱”：最上面是祖先，往下是子孙后代，这样一来，每个结点的唯一前驱就被称为“父结点”，它的多个后继则称为“子结点（孩子结点）”，同一个父结点下的各个子结点之间互称“兄弟结点”。

一个结点拥有子结点的个数，叫作该结点的“度”（也叫分支度），也就是它的孩子数，所有结点中最大的度，就是这棵树的度，树的最大层次数则称为树的深度，例如在图16-10中，结点C的度为2，结点A的度为3，结点D、E的度均为0，因此整棵树的度为3；这棵树共有3层,所以深度为3。

7.2 二叉树及其基本性质

二叉树是树的一种特殊情况：每个结点最多有两个分支（当然也可以只有一个分支，或者没有分支），如图16-11所示，二叉树中的结点只可能有三种度：0、1或2（度为1的结点，无论是向左分支还是向右分支，都归为同一类）。

根结点左边的部分叫左子树，右边的部分叫右子树,左右子树不能互换。

二叉树的基本性质：

（1）在二叉树的第k层上，最多有2^(k−1)个结点（k≥1）；
（2）深度为m的二叉树，最多有2^m −1个结点；
（3）度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个。

性质3巧记

性质3是最常考的一条,可以这样记住它：

我们公众号的小伙伴大多是大学生，很多还没孩子，人数那是相当多！虽说国家放开了二胎，但真正有两个孩子的家庭其实还不算多。
“没孩子的，总比有两个孩子的多一个”
——度为0就是没孩子，度为2就是有两个孩子，记住了这个,很多题都能迎刃而解！

【随讲随练16-17】一棵二叉树中共有70个叶子结点与80个度为1的结点，则该二叉树中的总结点数为（ ）。
A. 219　　B. 221　　C. 229　　D. 231

【答案】A
【分析】叶子结点为70个，因此度为2的结点为70−1=69个，总结点数=69+80+70=219。

【随讲随练16-18】设二叉树共有150个结点，其中度为1的结点有10个，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）。
A. 71　　B. 70　　C. 69　　D. 不可能有这样的二叉树

【答案】D
【分析】若叶子结点数为x，则度为2的结点数为x−1，x+(x−1)+10=150，即2x=141，x=70.5，不是整数,因此这样的二叉树不存在。

每一层上的结点数都达到最大的二叉树，称为满二叉树；除最后一层外，每一层结点数都达到最大，且最后一层只允许缺少右边的若干结点，这样的二叉树称为完全二叉树，显然，满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树未必是满二叉树，满二叉树中不存在度为1的结点；而在完全二叉树中，度为1的结点要么为0个,要么为1个。

【例】已知一棵完全二叉树共有m个结点，求其叶子结点数：
设叶子结点数为x，则度为2的结点数为x−1，然后分两种情况：
（1）度为1的结点数为0时：x+(x−1)+0=m，解方程即可；
（2）度为1的结点数为1时：x+(x−1)+1=m，解方程即可。
舍去不合理的结果（如非整数）,剩下的即为所求。

【随讲随练16-19】一棵完全二叉树共有360个结点，则在该二叉树中度为1的结点个数为（ ）。
A. 0　　B. 1　　C. 180　　D. 181

【答案】B
【分析】设叶子结点数为x，则度为2的结点数为x−1，若度为1的结点数为0，则 x+(x−1)=360，即2x=361，x=180.5，不成立；若度为1的结点数为1，则 x+(x−1)+1=360，即2x=360，x=180，成立,因此度为1的结点个数为1。

【随讲随练16-20】在深度为7的满二叉树中，度为2的结点个数为（ ）。
A. 64　　B. 63　　C. 32　　D. 31

【答案】B
【分析】深度为7的满二叉树共有2^7−1=127个结点，设度为2的结点为x个，则叶子结点为x+1个，且满二叉树没有度为1的结点，x+(x+1)=127，解得x=63。

7.3 二叉树的存储结构

二叉树既可以顺序存储，也可以链式存储，顺序存储通常用于满二叉树或完全二叉树，按层序将各结点依次存放到数组中，链式存储中，每个结点设有两个指针域，一个指向左子结点，一个指向右子结点，如图16-13所示，这种结构也叫二叉链表，需要注意的是：二叉链表本质上是树,逻辑结构属于非线性结构。

【随讲随练16-21】下列链表中，其逻辑结构属于非线性结构的是（ ）。
A. 二叉链表　　B. 循环链表　　C. 双向链表　　D. 带链的栈

【答案】A

【随讲随练16-22】能从任意一个结点开始没有重复地扫描到所有结点的数据结构是（ ）。
A. 循环链表　　B. 双向链表　　C. 二叉链表　　D. 有序链表

【答案】A
【分析】循环链表首尾相连,从任一结点出发都能遍历全部结点且不重复。

7.4 二叉树的遍历

二叉树的遍历，是指按照某种规则访问树中的每一个结点，且每个结点仅被访问一次，遍历方式不同，得到的序列也不同，除了最简单的按层次遍历外,还有三种重要的遍历方式：

（1）前序遍历（DLR）：先访问根结点，再遍历左子树，最后遍历右子树；
（2）中序遍历（LDR）：先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树；
（3）后序遍历（LRD）：先遍历左子树，再遍历右子树,最后访问根结点。

这里的“前”“中”“后”指的是根结点被访问的时机：前序是先根，中序是中间根，后序是最后根，而左右子树始终遵循“从左到右”的顺序。

如图16-14所示，前序序列为ABC，中序序列为BAC,后序序列为BCA。

当左右子树不止一个结点时，就需要把每一棵子树单独看作一棵二叉树，递归地应用同样的遍历规则，对图16-11的二叉树求前序遍历序列，分析过程如图16-15所示，最终结果为：ABDGCEHIF，同理，其中序序列为DGBAHEICF,后序序列为GDBHIEFCA。

【例】已知一棵二叉树前序遍历序列为ABDGCFK，中序遍历序列为DGBAFCK，则它的后序遍历序列是？
【答案】GDBFKCA
【分析】应先根据前序和中序画出二叉树（如何画法详见《玩转Office轻松过二级》）,再求后序序列。

如果已知后序和中序，求前序，方法类似，只是后序找根要看最后一个结点，若已知前序和后序，无法唯一确定中序，因此此类题目通常会给出中序序列，分析时可归纳为：前序或后序找根，中序分左右，层层画出二叉树。

【随讲随练16-23】设某二叉树的后序序列为CBA，中序序列为ABC，则该二叉树的前序序列为（ ）。
A. BCA　　B. CBA　　C. ABC　　D. CAB

【答案】C
【分析】后序序列中最后一个为根，即A为根；中序中A在中间位置，左子树为NULL，右子树为BC,继续分析可知前序为ABC。

【随讲随练16-24】下列叙述中正确的是（ ）。
A. 顺序存储结构的存储一定是连续的，链式存储结构的存储空间不一定是连续的
B. 顺序存储结构只针对线性结构，链式存储结构只针对非线性结构
C. 顺序存储结构能存储有序表，链式存储结构不能存储有序表
D. 链式存储结构比顺序存储结构节省存储空间

【答案】A 选自《玩转Office轻松过二级》（第2版），部分内容参考《C语言其实很简单》（第11-12章）

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